Giuseppe Crosa di Vergagni nacque nel 1886 a Belluno da una nobile famiglia genovese. Si laureò nel 1912 al Politecnico di Milano, dove era
allievo di Gaetano Moretti. Nella prima fase della sua carriera effettuò lavori nel territorio genovese: dalla villa Borzino a Busalla nel 1922, al villino Panizza a Crocefieschi, nel 1926, oltre che numerosi interventi su palazzi e ville nobiliari.
Nel 1929 assunse la carica di segretario provinciale del Sindacato Fascista Architetti e dal 1931 al 1932 fu segretario regionale; nel 1932, in disaccordo con gli esiti del piano regolatore di Genova, Crosa rassegnò le sue dimissioni a testimonianza del proprio dissenso con le Amministrazioni locali e le alte gerarchie del regime.
Nella rassegna delle opere «di regime» da ricordare la Casa del Balilla (sede genovese dell'Opera Nazionale Balilla, via Cesarea, 1930); il palazzo progettato per la nuova sede amministrativa delle acciaierie Ilva e realizzato dall'impresa Nizza e Riviera; ed il più recente palazzo Terzano (piazza Dante, angolo via Fieschi, 1938).
Fra il 1935 ed il 1936 realizzò la fontana di piazza De Ferrari, facendo costruire la vasca in un unico stampo. Nel corso della sua attività si occupò della ristrutturazione e restyling di palazzi storici genovesi; della trasformazione di edifici già esistenti; della progettazione di costruzioni ospedaliere, ecclesiastiche e per il tempo libero, nonché della realizzazione di monumenti celebrativi e opere funerarie.
